附录 A — 一般李代数的 Jacobson–Morozov 定理
本节在一般的有限维复半单李代数中证明 定理 1.3．记号便利起见，再次将定理重述如下：
先做一个观察：首先注意满足上述条件的 \(h\) 一定是半单的：这是通过 \(e\), \(f\), \(h\) 将 \(\mathfrak g\) 实现为 \(\mathfrak{sl}_2\) 的表示后，使用 \(\mathfrak{sl}_2\) 表示论的完全可约性得到的结果．所以将来的证明中，构造半单的 \(h\) 也是必经之路．
下面给出的证明跟随 [1, theorem 3.3.1]．证明需要抽象 Jordan 分解、Killing 型和 Cartan 根空间分解理论 [2, section 1.5, 1.8] 以及如下引理：
证明. 注意到 \[ \kappa(\mathfrak z(e), [e,\mathfrak g]) = \kappa([\mathfrak z(e), e], \mathfrak g) = 0 \] 故 \(\mathfrak z(e)\) 与 \([e,\mathfrak g]\) 正交．又由正合列 \[ 0 \longrightarrow \mathfrak z(e) \longrightarrow \mathfrak g \xrightarrow{\operatorname{ad}e} [e,\mathfrak g] \longrightarrow 0 \] 考察维数并使用 Killing 型在半单李代数中的非退化性就有正交补关系．
证明 (Jacobson–Morozov 定理的证明). 对维数 \(\mathfrak g\) 做归纳，则可以先假设 \(e\) 不落在 \(\mathfrak g\) 任何真半单子李代数中——否则直接在那个更小的半单李代数中构造 \(h\) 和 \(f\) 即可．这会帮我们在后面排除一大类讨论情况．
下面开始构造．先构造 \(h \in \mathfrak g\) 使得 \([h,e] = 2e\)，为此只需证明 \(e \in [e, \mathfrak g]\)．由 引理 A.2，这等价于证明 \(e\) 与 \(\mathfrak z(e)\) 正交．对任意与 \(e\) 交换的 \(x \in \mathfrak z(e)\)，\(\operatorname{ad}x\) 也与 \(\operatorname{ad}e\) 交换，故 \(e\) 幂零即是 \(\operatorname{ad}e\) 幂零进而导致 \(\operatorname{ad}e \circ \operatorname{ad}x\) 幂零．因此 \(\kappa(e,x) = \operatorname{Tr}(\operatorname{ad}e \circ \operatorname{ad}x) = 0\)，\(e\) 确实与 \(\mathfrak z(e)\) 正交，进而所需的 \(h\) 存在．
再修改 \(h\) 使其半单．考虑 \(h\) 的抽象 Jordan 分解 \(h = h_s + h_n\)，其中 \(h_s\) 半单，\(h_n\) 幂零．注意 \(\operatorname{ad}h_s\), \(\operatorname{ad}h_n\) 都是可写成关于 \(\operatorname{ad}h\) 的多项式，故也与 \(\operatorname{ad}h\) 共享特征向量 \(e\)．\(h_n\) 幂零，故特征值 \([h_n, e] = 0\)，因此 \([h_s, e] = [h,e]-[h_n,e] = 2e\)．取新的 \(h := h_s\) 即可．
半单的 \(h\) 使得可以关于它将 \(\mathfrak g\) 做权空间分解 \(\mathfrak g = \bigoplus_{\alpha \in \mathbb C} \mathfrak g_\alpha\)，于是 \(h \in \mathfrak g_0\)，\(e \in \mathfrak g_2\)，且容易验证 \([e, \mathfrak g_\alpha] \subseteq \mathfrak g_{\alpha+2}\)．现在来构造 \(f\)．它需要满足 \([h,f]=-2f\)，故应当在 \(\mathfrak g_{-2}\) 中寻找．它还需满足 \([e,f]=h\)，故只需证 \(h \in [e, \mathfrak g_{-2}]\)．如果我们暂时断言 \(h \in [e,\mathfrak g]\)，则 \(h \in \bigoplus_\alpha [e, \mathfrak g_\alpha]\)．但 \(h \in \mathfrak g_0\)，逼迫 \(h \in [e, \mathfrak g_{-2}]\)，证毕．
现在来证明断言 \(h \in [e,\mathfrak g]\)，已有的条件是 \([h,e] = 2e\) 及 \(h\) 半单．仍然用关系 \([e,\mathfrak g] = \mathfrak z(e)^\perp\)，只需证 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)\) 正交．考察 \(\mathfrak z(e)\) 相对 \(h\) 的权空间分解 \(\mathfrak z(e) = \bigoplus_\alpha \mathfrak z(e)_\alpha\)，这里 \(\mathfrak z(e)_\alpha = \mathfrak z(e) \cap \mathfrak g_\alpha\)．于是对任意 \(z_\alpha \in \mathfrak z(e)_\alpha\)， \[ 0 = \kappa([h,h],z_\alpha) = \kappa(h, [h, z_\alpha]) = \alpha \cdot \kappa(h, z_\alpha) \] 故 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)_\alpha\) 正交对任意 \(\alpha \neq 0\) 成立．
现在只需证 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)_0\) 正交．对任意 \(z_0 \in \mathfrak z(e)_0\)，注意 \(z_0\) 与 \(e\) 和 \(h\) 交换．不失一般性，可设 \(z_0\) 半单：
- 因为其半单部分 \((z_0)_s\) 与 \(h\) 正交当且仅当 \(z_0\) 与 \(h\) 正交：为此只需证幂零部分 \((z_0)_n\) 与 \(h\) 正交，这是因为 \((z_0)_n\) 与 \(z_0\) 交换进而与 \(h\) 交换，故 \(\operatorname{ad}h \circ \operatorname{ad}(z_0)_n\) 是幂零，因此 \(\kappa(h, (z_0)_n) = \operatorname{Tr}(\operatorname{ad}h \circ \operatorname{ad}(z_0)_n) = 0\)．
下面证明在上述限制下只能有 \(z_0 = 0\)，从而 \(h\) 与 \(\mathfrak z(e)_0\) 的正交性平凡．为此反设 \(z_0 \neq 0\)，由 引理 A.1，\(\mathfrak z(z_0)\) 是约化李代数．\(\mathfrak g\) 半单中心平凡保证 \(\mathfrak z(z_0)\) 比 \(\mathfrak g\) 严格更小．注意 \(e, h \in \mathfrak z(z_0)\)，于是 \(2e = [h,e] \in [\mathfrak z(z_0), \mathfrak z(z_0)]\)，后者是一个半单李代数．终于，我们把 \(e\) 放到了一个比 \(\mathfrak g\) 严格更小的半单李代数 \([\mathfrak z(z_0), \mathfrak z(z_0)]\) 中，但是这与整个证明一开始的假设冲突．因此 \(z_0 = 0\)，\(h\) 与 \(\mathfrak z(e)\) 正交，断言得证．