2 支配序
本章讨论经典李代数中幂零轨道的支配关系，证明幂零轨道的闭包关系和分拆上的支配序等价．
本章默认在 \(\mathbb C\) 上工作．经典李代数均认为是具体的 \(\mathbb C^n\) 上的矩阵代数．A 型李代数 \(\mathfrak{sl}_n\) 的作用群默认为 \(\mathrm{GL}_n\)，B、C、D 型李代数的作用群默认为定义它们的非退化双线性型给出的保距群；也就是说，C 型取辛群，B、D 型取正交群．考虑到已经完成了经典李代数中幂零轨道的分类，可以用分拆唯一标识幂零轨道．以后用 \(\mathcal O_\lambda^{\mathfrak{sl}}\) 的记号表示 Jordan 型为 \(\lambda\) 的 \(\mathfrak{sl}\) 中元素在 \(\mathrm{GL}\) 下的共轭轨道．考虑到保距群作用下的 B、C、D 型李代数 \(\mathfrak g\) 的幂零轨道由 \(\mathrm{GL}\) 作用下的轨道给出，我们用 \(\mathcal O_\lambda^\mathfrak g = \mathcal O_\lambda^\mathfrak{sl}\cap \mathfrak{g}\) 来标识 B、C、D 型在保距群作用下的幂零轨道．在上下文明确所在李代数的情况下，\(O_\lambda\) 的上标可能会作省略．
2.1 闭包关系与支配序
设 \(\mathfrak g\) 为一经典李代数，\(\mathcal O_1\) 和 \(\mathcal O_2\) 为其上的两个幂零轨道．在幂零轨道上定义关系：如果 \(\mathcal O_1 \subseteq \overline{\mathcal O_2}\)，就定义 \(\mathcal O_1 \trianglelefteq \mathcal O_2\)，称为幂零轨道上的支配关系（dominance order．亦作闭包关系，closure ordering）．这里取闭包使用的拓扑是 \(\mathfrak g\) 作为仿射空间的 Zariski 拓扑．
注记 (偏序关系). 注意幂零轨道上的支配关系自动满足反身性和传递性，从而构成一个预序（preorder）．当作用群 \(G\) 作为代数群连通时，可以通过轨道的不可约性证明这一关系的反对称性，进而构成偏序关系 [1, introduction of chapter 4]．
在我们关心的经典李代数中，A 型的 \(\mathrm{GL}\)、C 型的 \(\operatorname{Sp}\) 均连通，但 B、D 型李代数的作用群 \(O(V)\) 并不连通，无法直接抽象地证明反对称性．但我们之后将证明闭包关系与合法分拆上的支配序间的保序同构 定理 2.2，从而可以将分拆侧的反对称型转移到轨道侧．
下面的结果将为我们证明轨道间的支配关系提供便利：只要 \(\mathcal O_1\) 的任一元素落在 \(\mathcal O_2\) 的闭包里，就有 \(\mathcal O_1 \subseteq \overline{\mathcal O_2}\)．
证明. 任取 \(x \in \mathcal O_1 \cap \overline{\mathcal O_2}\)．对任意 \(y \in \mathcal O_1\)，由轨道定义，存在 \(g \in G\) 使得 \(y = \operatorname{Ad}(g) x\)．注意共轭作用 \(\operatorname{Ad}(g)\) 是 \(\mathfrak g\) 上的自同胚（Zariski 拓扑意义下），故与取闭包运算交换，故 \[ y = \operatorname{Ad}(g) x \in \operatorname{Ad}(g)(\overline{\mathcal O_2}) = \overline{\operatorname{Ad}(g)(\mathcal O_2)} = \overline{\mathcal O_2} \] 因此 \(\mathcal O_1 \subseteq \overline{\mathcal O_2}\)．
注记. 关于共轭作用是同胚的事实涉及到轨道作用群作为代数群的性质．不熟悉代数群的读者可以暂时先承认这一命题．
我们希望使用分拆上的某种偏序关系来描述幂零轨道上的支配关系．为此在 \(n\) 的全体分拆上定义：如果分拆 \(\lambda \vdash n\) 的每个部分和（前缀和）都大于等于 \(\mu \vdash n\) 的对应部分和，即 \[ \sum_{k=1}^i \lambda_k \geq \sum_{k=1}^i \mu_k \quad \text{for } i = 1, 2, \dots \] 则定义分拆支配序 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．支配序的盖住关系（covering relation）可以用 Young 图的“掉落”刻画．在证明 命题 2.2 前，先举二例：\((4,2)\) 盖住 \((3,3)\) 的图示如下： \[ \begin{array}{cccc} \bullet & \bullet & \bullet & \boxed\bullet \\ \bullet & \bullet \end{array} \quad\triangleright\quad \begin{array}{ccc} \bullet & \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet & \boxed\bullet \end{array} \] \((3,2,2,1)\) 盖住 \((2,2,2,2)\) 的图示如下： \[ \begin{array}{cccc} \bullet & \bullet & \boxed\bullet \\ \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet \\ \bullet \end{array} \quad\triangleright\quad \begin{array}{cccc} \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet \\ \bullet & \bullet \\ \bullet & \boxed\bullet \end{array} \]
证明. 若 \(\lambda \triangleright \mu\)，取出第一个 \(i_0\) 使得 \(\sum_{k=1}^{i_0} \lambda_k > \sum_{k=1}^{i_0} \mu_k\)，此时 \(\lambda_{i_0} > \mu_{i_0} \geq 1\)，即 \(\lambda_{i_0} \geq 2\)．故可取出最大的 \(i \geq i_0\) 使得 \(\lambda_i = \lambda_{i_0}\)；最小的 \(j > i\) 使得 \(\lambda_j \leq \lambda_i - 2\)．我们仅关注 \(\lambda\) 的第 \(i_0\) 个位置到第 \(j\) 个位置，写作 \[ \lambda_{i_0..j} = (\underbrace{\lambda_i, \dots, \lambda_i}_{i_0..i}, \underbrace{\lambda_i-1, \dots, \lambda_i - 1}_{i+1..j-1}, \lambda_j) \] 现在分情况做如下构造：
\(\lambda_j = \lambda_i - 2\)：构造分拆 \[ \lambda'_k = \begin{cases} \lambda_k - 1 & k = i \\ \lambda_k + 1 & k = j \\ \lambda_k & k \text{otherwise} \end{cases} \]
\(\lambda_j < \lambda_i - 2\)：构造分拆 \[ \lambda'_k = \begin{cases} \lambda_k - 1 & k = j-1 \\ \lambda_k + 1 & k = j \\ \lambda_k & k \text{otherwise} \end{cases} \]
考虑到 \(i_0..j-1\) 部分向后掉落的方块最早在 \(j\) 处落脚，即 \(\mu_k > \lambda_k\) 仅在 \(k \geq j\) 的位置可能发生，两种情况均可验证 \(\lambda \triangleright \lambda' \trianglerighteq \mu\)．特别地，当 \(\lambda\) 盖住 \(\mu\) 时，\(\mu = \lambda'\)．
事实上容易验证上述构造的 \(\lambda'\) 都直接被 \(\lambda\) 盖住，因此这一证明枚举完毕了所有可能的分拆支配序盖住关系．
2.2 A 型李代数
下面的命题建立了 A 型李代数 \(\mathfrak{sl}_n\) 中幂零轨道的支配序与分拆上支配序间的保序同构．
我们将提供一种基于构造代数曲线的证明．这里所谓代数曲线，均指由参数 \(t \in \mathbb C\) 多项式参数化的矩阵族 \(\Gamma(t)\)，即各矩阵元都是 \(t\) 的多项式；曲线所在的李代数由上下文决定，以后有时也简称为路径．为展示思路，先来看一个具体的例子．考虑 \(\lambda = (4,2)\), \(\mu = (3,3)\)，\(\lambda \trianglerighteq \mu\)．为沿代数曲线使幂零 Jordan 标准型矩阵 \(J_{(4,2)}\) 退化到 \(J_{(3,3)}\)，构造如下以 \(t \in \mathbb C\) 为参数的矩阵系列 \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & \\ & 0 & 1 & & & \\ & & 0 &1-t& & \\ & & & 0 & & \\ & & & & 0 & 1 \\ & & & t & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 列出标准基底 \(e_4\) 在上述矩阵多次作用下的变化情况： \[ e_4 \longrightarrow +\left\{\begin{matrix} t e_6 &\longrightarrow& t e_5 &\longrightarrow& 0& \\ (1-t) e_3 &\longrightarrow& (1-t) e_2 &\longrightarrow& (1-t) e_1 &\longrightarrow& 0 \end{matrix}\right. \] 可以看到：
- 当 \(t=0\) 时，就是 \(J_{(4,2)}\)；
- 当 \(t \neq 1\) 时，Jordan 型为 \((4,2)\)；
- 当 \(t=1\) 时，Jordan 型突变为 \((3,3)\)．
这是一条从 \(\mathcal O_{(4,2)}\) 到 \(\mathcal O_{(3,3)}\) 的路径．注意我们只需关注 Young 图相邻两行之间的掉落，故上述论证可推广到任意盖住关系，进而将这一保序映射扩展到任意 \(\lambda \trianglerighteq \mu\)．
证明 (\(\implies\) 侧的证明). 只需证明 \(\lambda\) 盖住 \(\mu\) 的情形，即 \(\lambda\) 的 Young 图通过掉落一个方块变成 \(\mu\) 的 Young 图 命题 2.2．设是从某一大小为 \(p\) 的部分掉落至大小为 \(q\) 的部分．因为其余各行均不受扰动，故问题约化为构造从 \(\mathcal O_{(p,q)}\) 连至 \(\mathcal O_{(p-1,q+1)}\) 的代数曲线．记 \(J_p\), \(J_q\) 分别为 \(p\) 阶和 \(q\) 阶幂零 Jordan 块，\(E_{i,j}\) 是基本矩阵，定义矩阵系列 \(\Gamma := \{\Gamma(t) : t \in \mathbb{C}\}\)： \[ \Gamma(t) := (J_p \oplus J_q) - t E_{p-1,\,p} + t E_{p+q,\,p}\qquad t \in \mathbb{C} \] 它是幂零锥内满足多项式方程 \(x_{p-1,p} + x_{p+q,p} = 1\)、其它位置固定的闭子集．考察标准基 \((e_1, e_2, \dots, e_{p+q})\) 在 \(\Gamma(t)\) 的作用下的变化情况： \[ \begin{aligned} \Gamma(t) e_1 &= 0 \\ \Gamma(t) e_{p+1} &= 0 \\ \Gamma(t) e_p &= (1-t) e_{p-1} + t e_{p+q} \\ \Gamma(t) e_{k} &= e_{k-1} \quad \text{other unspecified entry } k \end{aligned} \] 只有 \(e_p\) 的变化情况依赖于 \(t\)．
当 \(t \neq 1\)，注意 \(p \geq q+2\)，故 \(e_p\) 恰需 \(p\) 次 \(\Gamma(t)\) 作用变为 \(0\)．取 \(e_p\) 和 \(e_{p+q}\) 生成的循环基底 \[ \{\Gamma(t)^k e_p \}_{0 \leq k < p} \sqcup \{ e_k \}_{p < k \leq p+q} \] 这组基在 \((e_k)_{k=1}^n\) 下可以排成对角线非零的三角矩阵，故确实线性无关．使用该循环基底可知 \(\Gamma(t) \in \mathcal O_{(p,q)}\)．
当 \(t=1\) 时，\(e_p\) 恰需 \(q+1\) 次 \(\Gamma(t)\) 作用变为 \(0\)，取 \(e_{p-1}\) 和 \(e_p\) 生成的循环基底 \[ \{ e_k \}_{1 \leq k < p} \sqcup \{\Gamma(1)^k e_p \}_{0 \leq k \leq q} \] 这组基无非是 \((e_k)_{k=1}^n\) 的一个置换，故确实线性无关．使用该循环基底可知 \(\Gamma(1) \in \mathcal O_{(p-1,q+1)}\)．
于是 \(\Gamma\) 只有一点不在 \(\mathcal O_{(p,q)}\) 中，\(\Gamma \cap \overline{\mathcal O_{(p,q)}} \supseteq \overline{\Gamma \cap \mathcal O_{(p,q)}} = \Gamma\)，即 \(\Gamma \subseteq \overline{\mathcal O_{(p,q)}}\)．故 \(\Gamma(1) \in \overline{\mathcal O_{(p,q)}}\)，结合 命题 2.1 即得 \(\mathcal O_{(p-1,q+1)} \subseteq \overline{\mathcal O_{(p,q)}}\)．
证明 (\(\impliedby\) 侧的证明). 注意如下若干事实：
\(\lambda \trianglerighteq \mu\) 当且仅当 \(\lambda^T \trianglelefteq \mu^T\)：借助 Young 图盖住关系易证 [1, lemma 6.3.1]．
秩函数具有下半连续性（lower semicontinuity）：秩不大于某数 \(k\) 的矩阵是闭集．秩的子式定义可以为此提供一个一句话证明：对这些矩阵的要求等价于大于 \(k\) 阶的子式全为零．更一般地，对任意 \(i \in \mathbb N\)，由于 \(A \mapsto A^i\) 连续，故复合函数 \(A \mapsto \operatorname{rk}(A^i)\) 也下半连续．此性质使得当我们对幂零轨道取闭包时，元素及其幂次的秩都不会增加．
基于秩的 Jordan 型计算：Jordan 型为 \(\lambda\) 的幂零矩阵 \(X\) 满足其 \(i\) 次幂的秩就是 Young 图 \(\lambda\) 去掉前 \(i\) 列剩下的方块数： \[ \operatorname{rk}X^i = n - \sum_{k=1}^i (\lambda^T)_k, \quad i = 0, 1, \dots \] 这里 \(\lambda^T\) 是分拆 \(\lambda\) 的转置，即 Young 图沿主对角线的翻转．反过来这为我们提供了计算 Jordan 型的秩方法： \[ (\lambda^T)_k = \operatorname{rk}X^{k-1} - \operatorname{rk}X^k, \quad k = 1, 2, \dots \] 此外，\(X^i\) 的 Jordan 型的转置为 \((n - \operatorname{rk}X^i, \operatorname{rk}X^i - \operatorname{rk}X^{i-1}, \operatorname{rk}X^{i+1} - \operatorname{rk}X^i, \dots)\)．
现在设 \(\overline{\mathcal O_\lambda} \supseteq \mathcal O_\mu\)．不妨任取代表元 \(X \in \mathcal O_\lambda\), \(Y \in \mathcal O_\mu\)．对任意 \(i \geq 1\)，由 \(A \mapsto \operatorname{rk}(A^i)\) 的下半连续性，\(\operatorname{rk}Y^i \leq \operatorname{rk}X^i\)，故 \[ n - \sum_{k=1}^i (\mu^T)_k = \operatorname{rk}Y^i \leq \operatorname{rk}X^i = n - \sum_{k=1}^i (\lambda^T)_k \] 即 \(\mu^T\) 的第 \(i\) 个部分和大于等于 \(\lambda^T\) 的第 \(i\) 个部分和，故 \(\mu^T \trianglerighteq \lambda^T\)，\(\lambda \trianglerighteq \mu\)．
细心的读者可能已经发现，定理 2.1 \(\impliedby\) 一侧的证明对所有经典李代数都适用．自然会猜测经典李代数上的幂零轨道的支配关系也和分拆上的支配序等价．事实确实如此：
本章的剩余部分将致力于证明上述定理的 \(\implies\) 侧．总的来说，思路仍然是为每个盖住关系构造一条代数曲线，使支配关系中较大的轨道退化到较小轨道．但不同于 A 型李代数，B、C、D 型李代数要求曲线落在斜自伴李代数中；且幂零轨道的 Jordan 型存在额外的限制条件，需要讨论的盖住关系更多更复杂．为处理方便，我们将需要在不同情形 B、C、D 型李代数选取特定的非退化双线性型．
2.3 C 型李代数
本节先来处理 C 型李代数 \(\mathfrak{sp}_{2n}\)．
2.3.1 组合图示
记 \(\mathbb C^{2n}\) 上的标准基为 \[ (e_1,f_1,e_2,f_2,\dots,e_n,f_n) \] 选取非退化斜对称双线性型 \[ \begin{aligned} \varphi(e_i, f_i) &= 1 &\text{for } 1 \leq i \leq n \\ \varphi(f_i, e_i) &= -1 &\text{for } 1 \leq i \leq n \\ \varphi(-,-) &= 0 &\text{other unspecified pairs} \end{aligned} \qquad \Phi := \begin{pmatrix} 0 & 1 & & & & \\ -1 & 0 & & & \\ & & 0 & 1 & & \\ & & -1 & 0 & \\ & & & & \ddots & \end{pmatrix} \] 借此定义 \(\mathfrak{sp}_{2n}\) 为满足斜自伴条件 \(X^T \Phi = -\Phi X\) 的全体 \(2n\) 阶矩阵．矩阵计算可得 \(\mathfrak{sp}_{2n}\) 的分块矩阵描述： \[ \begin{pmatrix} C_{1,1} & C_{1,2} & \ldots \\ C_{2,1} & C_{2,2} & \ldots \\ \vdots & \vdots & \ddots\\ \end{pmatrix} \qquad \begin{aligned} C_{i,i} &= \begin{pmatrix} r_i & \textcolor{teal}{s_i} \\ \textcolor{blue}{t_i} & -r_i \end{pmatrix} & 1 \leq i = j \leq n \\ C_{i,j} &= \begin{pmatrix} a_{i,j} & \textcolor{red}{b_{i,j}} \\ c_{i,j} & \textcolor{violet}{d_{i,j}} \end{pmatrix} & 1 \leq i < j \leq n \\ C_{j,i} &= \begin{pmatrix} \textcolor{violet}{-d_{i,j}} & \textcolor{red}{b_{i,j}} \\ c_{i,j} & -a_{i,j} \end{pmatrix} & 1 \leq i < j \leq n \end{aligned} \] 注意变元的数量和 \(\dim \mathfrak{sp}_{2n} = 2n^2 + n\) 相符．
现在考虑构造具有特定 Jordan 型的幂零斜自伴矩阵 \(X\)．观察 \(\textcolor{teal}{s_i}\), \(\textcolor{blue}{t_i}\), \(\textcolor{violet}{d_{i-1,i}}\), \(\textcolor{red}{b_{i-1,i}}\) 的作用： \[ \begin{aligned} X(f_i) &= \textcolor{violet}{d_{i-1,i}} f_{i-1} + \textcolor{teal}{s_i} e_i + \textcolor{red}{b_{i-1,i}} e_{i-1} + \dots \\ X(e_i) &= \textcolor{violet}{-d_{i,i+1}} e_{i+1} + \textcolor{blue}{t_i} f_i + \textcolor{red}{b_{i,i+1}} f_{i+1} + \dots \end{aligned} \] 如果将来只使用这四个变元来构造所有所需的斜自伴幂零矩阵，那么 \(X\) 的在基底上的作用可完全用如下组合图示来描述：先将基底 \((e_1,f_1,\dots,e_n, f_n)\) 排成两行 \[ \begin{matrix} f_1 & f_2 & \dots & f_{n-1} & f_n \\ e_1 & e_2 & \dots & e_{n-1} & e_n \end{matrix} \] 进而在上述 \(2n\) 个节点的图间连接如下四种类型的边：
则 \(X\) 在每个基向量的作用描述为从该节点出发的所有边的终点向量的线性组合，组合系数由边权给出．组合图示构造出的矩阵一定满足斜自伴条件，并使未来在构造代数曲线时跟踪 Jordan 型的变化情况更容易．因此以后我们便放心忘记 \(X\) 的矩阵形式，直接使用图示来给出所需的幂零斜自伴矩阵．
2.3.2 盖住关系与路径构造
注意 C 型合法分拆特别要求奇数部分必须出现偶数次．类似 命题 2.2 进行繁琐但平凡的分类讨论可证明如下命题：
证明. 若 \(\lambda \triangleright \mu\)，取出第一个 \(i_0\) 使得 \(\sum_{k=1}^{i_0} \lambda_k > \sum_{k=1}^{i_0} \mu_k\)，此时 \(\lambda_{i_0} > \mu_{i_0} \geq 1\)，即 \(\lambda_{i_0} \geq 2\)．故可取出最大的 \(i \geq i_0\) 使得 \(\lambda_i = \lambda_{i_0}\)；最小的 \(j > i\) 使得 \(\lambda_j \leq \lambda_i - 2\)．我们仅关注 \(\lambda\) 的第 \(i_0\) 个位置到第 \(j+1\) 个位置，写作 \[ \lambda_{i_0..j+1} = (\underbrace{\lambda_i, \dots, \lambda_i}_{i_0..i}, \underbrace{\lambda_i-1, \dots, \lambda_i - 1}_{i+1..j-1}, \lambda_j, \lambda_{j+1}) \] 现在分情况做如下构造：
\(\lambda_i\), \(\lambda_j\) 均为偶数且 \(\lambda_i = \lambda_j + 2\)：构造分拆 \(\lambda_k'\) 完成第一种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 1 & k = i \\ \lambda_k + 1 & k = j \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \]
\(\lambda_i\), \(\lambda_j\) 均为偶数且 \(\lambda_i \geq \lambda_j + 4\)：再分类讨论，当 \(j=i+1\) 时，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第二种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 2 & k = i \\ \lambda_k + 2 & k = j \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \] 当 \(j > i+1\)，此时 \(\lambda_{i+1} = \lambda_i - 1\) 是奇数，故由分拆合法性 \(j-i-1\) 应为偶数，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第四种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k-1 & k = j-2, j-1 \\ \lambda_k+2 & k = j \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \]
\(\lambda_i\) 为偶数，\(\lambda_j = \lambda_{j+1}\) 为奇数．此时 \(\lambda_i \geq \lambda_j + 3\)．再分类讨论，当 \(j=i+1\) 时，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第三种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 2 & k = i \\ \lambda_k + 1 & k = j, j+1 \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \] 当 \(j > i+1\)，此时 \(\lambda_{i+1} = \lambda_i - 1\) 是奇数，故由分拆合法性 \(j-i-1\) 应为偶数，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第五种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k-1 & k = j-2, j-1 \\ \lambda_k+1 & k = j, j+1 \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \]
\(\lambda_{i-1} = \lambda_i\) 为奇数，\(\lambda_j\) 为偶数：此时 \(\lambda_i \geq \lambda_j + 3\)．再分类讨论，当 \(j=i+1\) 时，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第四种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 1 & k = i-1, i \\ \lambda_k + 2 & k = j \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \] 当 \(j > i+1\)，此时 \(\lambda_{i+1} = \lambda_i - 1\) 是偶数．如果 \(\lambda_i = \lambda_j + 3\)，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第一种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 1 & k = j-1 \\ \lambda_k + 1 & k = j \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \] 如果 \(\lambda_i \geq \lambda_j + 5\)，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第二种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 2 & k = j-1 \\ \lambda_k + 2 & k = j \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \]
\(\lambda_{i-1} = \lambda_i\) 和 \(\lambda_{j} = \lambda_{j+1}\) 均为奇数：此时 \(\lambda_i \geq \lambda_j + 2\)．再分类讨论，当 \(j=i+1\) 或 \(\lambda_i = \lambda_j + 2\) 时，构造分拆 \(\lambda'\) 完成第五种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 1 & k = i-1, i \\ \lambda_k + 1 & k = j, j+1 \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \] 当 \(j > i+1\) 且 \(\lambda_i \geq \lambda_j + 4\) 时，此时 \(\lambda_{i+1} = \lambda_i - 1\) 是偶数．构造分拆 \(\lambda'\) 完成第三种掉落： \[ \lambda_k' = \begin{cases} \lambda_k - 2 & k = j-1 \\ \lambda_k + 1 & k = j, j+1 \\ \lambda_k & \text{otherwise} \end{cases} \]
验证上述每一种情况的 \(\lambda'\) 都是 C 型合法分拆，每一个 \(\lambda\) 到 \(\lambda'\) 的掉落都属于命题中描述的五类掉落类型之一，且 \(\lambda \triangleright \lambda' \trianglerighteq \mu\)．特别地，当 \(\lambda\) 盖住 \(\mu\) 时，\(\mu = \lambda'\)．
事实上还可额外验证每个情况下构造的 \(\lambda'\) 都直接被 \(\lambda\) 盖住，因此证明事实上枚举完毕了所有可能的盖住关系．
注记 (一个不寻常的掉落). 提请读者注意一个不太寻常的例子：分拆 \((8,6,4) \triangleright (7,7,4) \triangleright (6,6,6)\)，但 \((8,6,4)\) 和 \((6,6,6)\) 间可以通过第二类掉落直接连接．
借助上述命题，接下来我们仍可将目光局限在两种大小的块之间的掉落．对每种掉落，通过组合图示给出代数曲线 \(\Gamma := \{\Gamma(t) \in \mathfrak{sp}_{2n} : t \in \mathbb C \}\) 并分析 Jordan 型随 \(t\) 的变化情况，从而完成 定理 2.2 \(\implies\) 侧在 C 型李代数上的证明．
情形一 \((2p,2q) \to (2p-1,2q+1)\), \(p = q+1\), \(q \geq 1\)
对 \(q = 1\) 的情形，阅读一般情况证明后补证不难．故设 \(q \geq 2\)．考察 \(f_p\) 和 \(e_{p+1} + t f_{p-2}\) 在 \(\Gamma(t)\) 多次作用下的变化情况： \[ \begin{aligned} f_p &\longrightarrow +\left\{\begin{matrix} f_{p-1} &\xrightarrow{\dots}& f_1 &\longrightarrow& e_1 &\xrightarrow{\dots} \\ t e_{p+1} &\xrightarrow{\dots}& (-1)^{q-1} t e_{p+q} &\longrightarrow& (-1)^{q-1} t f_{p+q} &\xrightarrow{\dots} \end{matrix}\right. \\ &\left.\begin{matrix} \xrightarrow{\dots}& (-1)^{p-2} e_{p-1} &\longrightarrow& (-1)^{p-1} e_p \\ \xrightarrow{\dots}& (-1)^{q-1} t f_{p+1} &\longrightarrow& (-1)^{q-1} t^2 e_p \end{matrix}\right\} = (-1)^{p-1} (1-t^2) e_p \end{aligned} \] \[ \left.\begin{matrix} t f_{p-2} &\xrightarrow{\dots}& t e_1 &\xrightarrow{\dots}& (-1)^{p-2} t e_{p-1} &\longrightarrow& (-1)^{p-1} t e_p \\ e_{p+1} &\xrightarrow{\dots}& (-1)^{q-1} e_{p+q} &\xrightarrow{\dots}& (-1)^{q-1} f_{p+1} &\longrightarrow& (-1)^{q-1} t e_p \end{matrix}\right\} += 0 \]
当 \(t \neq 1\) 时，取 \(f_p\) 和 \(e_{p+1} + t f_{p-2}\)．在 \(\Gamma(t)\) 作用下生成循环基底，长度分别为 \(2p\) 和 \(2q\)．注意它们在标准基底 \((e_1,f_1,\dots,e_n,f_n)\) 下可排成对角线非零的三角矩阵，确实线性无关．故此时 \(\Gamma(t)\) 的 Jordan 型为 \((2p,2q)\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_p\) 和 \(e_{p+1}\) 在 \(\Gamma(t)\) 作用下生成循环基底，长度分别为 \(2p-1\) 和 \(2q+1\)．注意它们在标准基底 \((e_1,f_1,\dots,e_n,f_n)\) 下可排成对角线非零的三角矩阵，确实线性无关．故此时 \(\Gamma(t)\) 的 Jordan 型为 \((2p-1,2q+1)\)．
退化情形一 \((2) \to (1,1)\)
取路径 \(f_1 \textcolor{teal}{\xrightarrow{1-t}} e_1\) 即可．
后续构造我们仅给出组合图示和循环基底的生成元，不再赘述线性无关性和循环基底在 \(\Gamma(t)\) 作用下的具体变化．
情形二 \((2p,2q) \to (2p-2,2q+2)\), \(p \geq q+2\), \(q \geq 1\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 生成的循环基底长度 \(2p\)．
设 \(\tilde e\) 是图中左侧某一节点对应基底使得 \(\Gamma(t)^{2q} \tilde e = \pm (1-t) e_p\)，它的存在性由 \(p \geq q+2\) 保证．又注意 \(\Gamma(t)^{2q} e_{p+1} = \pm t e_p\)．故再取 \((1-t) e_{p+1} \pm t \tilde e\) 生成循环基底，这里选取的正负号应恰使 \(\Gamma(t)^{2q}\) 作用其上后在 \(e_p\) 处抵消为零．于是其生成循环基底长度为 \(2q\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底，长度分别为 \(2p-1\) 和 \(2q\)．
退化情形二 \((2p) \to (2p-2,2)\), \(p \geq 2\)
- 当 \(t \neq 1\)，\(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(2p\)．
- 当 \(t = 1\)，\(f_{p-1}\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底长度分别为 \(2p-2\) 和 \(2\)．
情形三 \((2p,q,q) \to (2p-2,q+1,q+1)\), \(2p \geq q+3\), \(q \geq 1\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(2p\)，\(e_{p+1}\) 生成的循环基底长度为 \(q\)．
设 \(\tilde e\) 是图中左侧某一节点对应基底使得 \(\Gamma(t)^q \tilde e = \pm (1-t) e_p\)，它的存在性由 \(2p \geq q+3\) 保证．又注意 \(\Gamma(t)^{q} f_{p+q} = \pm t e_p\)．故再取 \((1-t) f_{p+q} \pm t \tilde e\) 生成循环基底，这里选取的正负号应恰使 \(\Gamma(t)^q\) 作用其上后在 \(e_p\) 处抵消为零．于是其生成循环基底长度为 \(q\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\), \(f_p\) 和 \(f_{p+q}\) 生成的循环基底，长度分别为 \(2p-2\), \(q+1\), \(q+1\)．
退化情形三 \((2p) \to (2p-2,1,1)\), \(p \geq 2\)
仅取 图 2.5 中交叉左侧良定义部分即可．
情形四 \((p,p,2q) \to (p-1,p-1,2q+2)\), \(p \geq 2q+3\), \(q \geq 1\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(p\)，\(e_1\) 生成的循环基底长度为 \(p\)．
注意 \(\Gamma(t)^{2q} e_{p+1} = (-1)^{q-1} t e_p\)，\(\Gamma(t)^{2q} e_{p-2q} = (-1)^{2q} (1-t) e_p\)．故使用 \((-1)^{q-1} (1-t) e_{p+1} - (-1)^{2q} t e_{p-2q}\) 生成循环基底，则作用 \(\Gamma(t)^{2q}\) 后在 \(e_p\) 处抵消为零，基底长度为 \(2q\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\), \(e_1\), \(f_p\) 生成的循环基底，长度分别为 \(p-1\), \(p-1\), \(2q+2\)．
退化情形四 \((p,p) \to (p-1,p-1,2)\), \(p \geq 3\)
- 当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 和 \(e_1\) 生成的循环基底长度分别为 \(p\) 和 \(p\)．
- 当 \(t = 1\) 时，\(f_{p-1}\), \(e_1\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底长度分别为 \(p-1\), \(p-1\), \(2\)．
情形五 \((p,p,q,q) \to (p-1,p-1,q+1,q+1)\), \(p \geq q+2\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\), \(e_1\), \(e_{p+1}\) 生成的循环基底长度分别为 \(p\), \(p\), \(q\)．
注意 \(\Gamma(t)^{q} f_{p+q} = t e_p\)，\(\Gamma(t)^{q} e_{p-q} = (-1)^q (1-t) e_p\)．故使用 \((1-t) f_{p+q} - (-1)^q t e_{p-q}\) 生成循环基底，则作用 \(\Gamma(t)^{q}\) 后两项在 \(e_p\) 处抵消为零，基底长度为 \(q\)．
当 \(t = 1\) 时，\(f_{p-1}\), \(e_1\), \(f_p\), \(f_{p+q}\) 生成的循环基底长度分别为 \(p-1\), \(p-1\), \(q+1\), \(q+1\)．
退化情形五 \((p,p) \to (p-1,p-1,1,1)\), \(p \geq 2\)
取 图 2.8 中交叉左侧良定义部分即可．
注记 (推广情形一 \((2p,2q) \to (p+q, p+q)\), \(p \geq q+2\), \(q \geq 1\)). 情形一的掉落可以看作是 \((2p,2q) \to (p+q, p+q)\) 的特例．我们有如下不同思路的构造．
当 \(t \neq 1\) 时，考察 \(e_1\) 和 \((1-t) f_{p+q} + (-1)^q t e_{p-q+1}\) 在 \(\Gamma(t)\) 多次作用下的变化情况： \[ e_1 \longrightarrow \dots \longrightarrow \pm e_p \longrightarrow +\left\{\begin{matrix} (1-t) f_p &\xrightarrow{\dots}& (1-t) f_{p-q+1} &\xrightarrow{\dots}& (1-t) f_1 \\ \pm t e_{p+1} &\xrightarrow{\dots}& \pm t e_{p+q} \end{matrix}\right. \] \[ \begin{aligned} \left.\begin{matrix} (1-t) f_{p+q} &\xrightarrow{\dots}& (1-t) f_{p+1} &\longrightarrow& t(1-t) f_p + (1-t)^2 e_{p+1} \\ (-1)^q t e_{p-q+1} &\xrightarrow{\dots}& -t e_p &\longrightarrow& -t(1-t) f_p + t^2 e_{p+1} \end{matrix}\right\} + = (t^2 + (1-t)^2) e_{p+1} \\ \longrightarrow \dots \longrightarrow (t^2 + (1-t)^2) e_{p+q} \end{aligned} \] 故取此二向量生成的循环基底，长度分别为 \(2p\) 和 \(2q\)．注意它们在标准基底 \((e_1,f_1,\dots,e_n,f_n)\) 下可排成对角线非零的三角矩阵，确实线性无关．故此时 \(\Gamma(t)\) 的 Jordan 型为 \((2p,2q)\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(e_1\) 和 \(f_{p+q}\) 生成的循环基底，易见长度均为 \(p+q\)，且它们无非是标准基底 \((e_1,f_1,\dots,e_n,f_n)\) 的一个置换，确实线性无关．故此时 \(\Gamma(t)\) 的 Jordan 型为 \((p+q,p+q)\)．
2.4 B 型和 D 型李代数
2.4.1 组合图示
B 型李代数和 D 型李代数 \(\mathfrak{so}_n\) 的构造更加复杂．为处理方便，往往需要为每种盖住关系分别构造不同的对称双线性型．一般地，记 \(\mathbb C^n\) 上的标准基为 \[ (g_1, \dots, g_\alpha, h_1,\dots,h_\beta, e_1,f_1,\dots,e_\gamma, f_\gamma) \] 这里 \(\alpha + \beta + 2\gamma = n\)．选取非退化对称双线性型 \[ \begin{aligned} \varphi(g_i, g_i) &= 1 & \text{for } 1 \leq i \leq \alpha \\ \varphi(h_j, h_j) &= -1 & \text{for } 1 \leq j \leq \beta \\ \varphi(e_k, f_k) &= 1 & \text{for } 1 \leq k \leq \gamma \\ \varphi(f_k, e_k) &= 1 & \text{for } 1 \leq k \leq \gamma \\ \varphi(-,-) &= 0 & \text{other unspecified pairs} \end{aligned} \qquad \Phi := \begin{pmatrix} I_\alpha & & & & & \\ & -I_\beta & & & & \\ & & 0 & 1 & & & \\ & & 1 & 0 & & & \\ & & & & 0 & 1 & \\ & & & & 1 & 0 & \\ & & & & & & \ddots \end{pmatrix} \] 借此定义 \(\mathfrak{so}_n\) 为满足斜自伴条件 \(X^T \Phi = -\Phi X\) 的全体 \(n\) 阶矩阵．为精简记号，我们不再画出整个斜对称矩阵 \(X\) 的分块表示，而是分类讨论每对 \(g_i\), \(h_j\) 和 \((e_k, f_k)\) 对 \(X\) 制造的限制，并给出它们在组合图示中的表现：
\(g_i\) 之间： \[ \begin{pmatrix} g_1^T \\ g_2^T \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} g_1 & g_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & * \\ -* & 0 \end{pmatrix} \] 我们在组合图示中不使用这些关系．
\(h_j\) 之间： \[ \begin{pmatrix} h_1^T \\ h_2^T \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} h_1 & h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & * \\ -* & 0 \end{pmatrix} \] 我们在组合图示中不使用这些关系．
\(g_i\) 和 \(h_j\) 之间： \[ \begin{pmatrix} g_i^T \\ h_j^T \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} g_i & h_j \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & * \\ * & 0 \end{pmatrix} \] 我们在组合图示中不使用这些关系．
\((e_k, f_k)\) 之间： \[ \begin{pmatrix} e_1^T \\ f_1^T \\ e_2^T \\ f_2^T \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} e_1 & f_1 & e_2 & f_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 & 0 & a & \textcolor{red}{b} \\ 0 & -r_1 & c & \textcolor{violet}{d} \\ \textcolor{violet}{-d} & \textcolor{red}{-b} & r_2 & 0 \\ -c & -a & 0 & -r_2 \end{pmatrix} \] 注意这里和 C 型李代数的区别：原来 \(s\) 和 \(t\) 所在位置现在强制为零，不再具有自由度．这是 B 型和 D 型李代数的构造变复杂的主要原因之一．我们将在组合图示中使用 \(\textcolor{violet}{d}\) 和 \(\textcolor{red}{b}\)．
\(g_i\) 和 \((e_k, f_k)\) 之间： \[ \begin{pmatrix} g^T \\ e^T \\ f^T \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} g & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & x & \textcolor{teal}{y} \\ \textcolor{teal}{-y} & 0 & 0 \\ -x & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 我们将在组合图示中使用 \(\textcolor{teal}{y}\)．
\(h_j\) 和 \((e_k, f_k)\) 之间： \[ \begin{pmatrix} h^T \\ e^T \\ f^T \end{pmatrix} X \begin{pmatrix} h & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \textcolor{blue}{z} & w \\ w & 0 & 0 \\ \textcolor{blue}{z} & 0 & 0 \end{pmatrix} \] 我们将在组合图示中使用 \(\textcolor{blue}{z}\)．
上述变量的作用在组合图示中记录如下：
2.4.2 盖住关系与路径构造
与 C 型类似，仍然先明确需要讨论的 \(5\) 种盖住关系：
证明完全类似 C 型，我们不再赘述．下面进行代数曲线构造，思路亦与 C 型李代数类似，但需要根据 B、D 型的斜自伴条件选取不同的非退化对称双线性型，并借助变量 \(\textcolor{teal}{y}\) 和 \(\textcolor{blue}{z}\) 来替代 C 型中 \(s\) 和 \(t\) 自由度缺失的影响．以下各情形给出生成循环基底的向量选取方案，不再逐一验证线性无关性．
情形一 \((2p+1,2q+1) \to (2p,2q+2)\), \(p = q+1\), \(q \geq 1\)
取 \(\alpha = 1\), \(\beta = 1\), \(\gamma = p+q\)．
当 \(t \neq 1\) 时，取 \(f_p\) 生成循环基底，注意 \[ \Gamma(t)^{2p} f_p = \Gamma(t)^{2p-1} (f_{p-1} - t e_{p+1}) = \dots = (-1)^p e_p + (-1)^q t^2 e_p \neq 0 \] 故长度为 \(2p+1\)．
注意 \(\Gamma(t)^{2q+1} e_{p+1} = (-1)^{q-1} t e_p\) 且 \(\Gamma(t)^{2q+1} f_{p-2} = (-1)^p e_p\)，故当 \(p = q+1 \geq 3\) 时再取 \(e_{p+1} - t f_{p-2}\) 生成循环基底，则作用 \(\Gamma(t)^{2q}\) 后两项在 \(e_p\) 处抵消为零．于是基底长度为 \(2q+1\)．对 \(p = q+1 =2\) 的情形，取 \(e_{p+1} - t g_1\) 同样可以得到长度为 \(2q+1\) 的循环基底．
当 \(t = 1\) 时，\(e_{p+1}\) 在 \(\Gamma(t)\) 作用下生成的循环基底长度为 \(2q+2\)．
再取 \(f_p\) 生成循环基底．注意 \[ \Gamma(t)^{2p} f_p = \Gamma(t)^{2p-1} (f_{p-1} - e_{p+1}) = \dots = (-1)^p e_p + (-1)^q e_p = 0 \] 即左侧 \(g_1 \longrightarrow e_1\) 和 \(e_1 \xrightarrow{\dots} e_p\) 分别贡献 \(1\) 次和 \(p-1\) 次变号，右侧 \(e_{p+1} \xrightarrow{\dots} e_p\) 也贡献 \((-1)^{q-1}\) 次变号，两者在 \(e_p\) 处抵消．故 \(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(2p\)．
退化情形一 \((3,1) \to (2,2)\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(\Gamma(t)^2 f_1\) 非零，\(f_1\) 生成长度为 \(3\) 的循环基底．
当 \(t = 1\) 时，\(\Gamma(t)^2 f_1 = 0\)，取 \(f_1\) 和 \(h_1\) 生成循环基底，长度均为 \(2\)．
情形二 \((2p+1,2q+1) \to (2p-1,2q+3)\), \(p \geq q+2\), \(q \geq 1\)
取 \(\alpha = 1\), \(\beta = 1\), \(\gamma = p+q\)．
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(2p+1\)．
设 \(\tilde e\) 是图中左侧某一节点对应基底使得 \(\Gamma(t)^{2q+1} \tilde e = \pm (1-t) e_p\)，其存在性由 \(2p+1 \geq 2q+3\) 保证．注意 \(\Gamma(t)^{2q+1} e_{p+1} = \pm t e_p\)．故再取 \((1-t) e_{p+1} \pm t \tilde e\) 生成循环基底，正负号选取恰使 \(\Gamma(t)^{2q+1}\) 作用后在 \(e_p\) 处抵消为零，基底长度为 \(2q+1\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底，长度分别为 \(2p-1\) 和 \(2q+3\)．
退化情形二 \((2p+1,1) \to (2p-1,3)\), \(p \geq 2\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(2p+1\)，\(h_1\) 生成的循环基底长度为 \(1\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底，长度分别为 \(2p-1\) 和 \(3\)．
情形三 \((2p+1,q,q) \to (2p-1,q+1,q+1)\), \(2p \geq q+2\), \(q \geq 1\)
取 \(\alpha = 1\), \(\beta = 0\), \(\gamma = p+q\)．
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 生成的循环基底长度为 \(2p+1\)；\(e_{p+1}\) 生成的循环基底长度为 \(q\)．
设 \(\tilde e\) 是图中左侧某一节点对应基底使得 \(\Gamma(t)^q \tilde e = \pm (1-t) e_p\)，其存在性由 \(2p+1 \geq q+2\) 保证．注意 \(\Gamma(t)^q f_{p+q} = t e_p\)．故再取 \((1-t) f_{p+q} \pm t \tilde e\) 生成循环基底，正负号选取恰使 \(\Gamma(t)^q\) 作用后在 \(e_p\) 处抵消为零，于是循环基底长度为 \(q\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\), \(f_p\) 和 \(f_{p+q}\) 生成的循环基底，长度分别为 \(2p-1\), \(q+1\), \(q+1\)．
退化情形三 \((2p+1) \to (2p-1,1,1)\), \(p \geq 2\)
取 图 2.15 中交叉左侧良定义部分即可．
情形四 \((p,p,2q+1) \to (p-1,p-1,2q+3)\), \(p \geq 2q+4\), \(q \geq 1\)
取 \(\alpha = 0\), \(\beta = 1\), \(\gamma = p+q\)．
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 和 \(e_1\) 生成的循环基底长度分别为 \(p\) 和 \(p\)．
注意 \(\Gamma(t)^{2q+1} e_{p+1} = (-1)^{q-1} t e_p\)，\(\Gamma(t)^{2q+1} e_{p-2q-1} = (-1)^{2q+1} (1-t) e_p\)．故再取 \((-1)^{q-1} (1-t) e_{p+1} - (-1)^{2q+1} t e_{p-2q-1}\) 生成循环基底，则 \(\Gamma(t)^{2q+1}\) 作用后在 \(e_p\) 处抵消为零．于是基底长度为 \(2q+1\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\), \(e_1\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底，长度分别为 \(p-1\), \(p-1\) 和 \(2q+3\)．
退化情形四 \((p,p,1) \to (p-1,p-1,3)\), \(p \geq 4\)
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\) 和 \(e_1\) 生成的循环基底长度分别为 \(p\) 和 \(p\)．
当 \(t = 1\) 时，取 \(f_{p-1}\), \(e_1\) 和 \(f_p\) 生成的循环基底，长度分别为 \(p-1\), \(p-1\) 和 \(3\)．
情形五 \((p,p,q,q) \to (p-1,p-1,q+1,q+1)\), \(p \geq q+2\), \(q \geq 1\)
取 \(\alpha = 0\), \(\beta = 0\), \(\gamma = p+q\)．
当 \(t \neq 1\) 时，\(f_p\), \(e_1\), \(e_{p+1}\) 生成的循环基底长度分别为 \(p\), \(p\), \(q\)．
注意 \(\Gamma(t)^q f_{p+q} = t e_p\)，\(\Gamma(t)^q e_{p-q} = (-1)^q (1-t) e_p\)．故再取 \((1-t) f_{p+q} - (-1)^q t e_{p-q}\) 生成循环基底，则 \(\Gamma(t)^q\) 作用后在 \(e_p\) 处抵消为零．于是基底长度为 \(q\)．
当 \(t = 1\) 时，\(f_{p-1}\), \(e_1\), \(f_p\), \(f_{p+q}\) 生成的循环基底长度分别为 \(p-1\), \(p-1\), \(q+1\), \(q+1\)．
退化情形五 \((p,p) \to (p-1,p-1,1,1)\), \(p \geq 2\)
取 图 2.18 中交叉左侧良定义部分即可．
上述讨论完成了 定理 2.2 \(\implies\) 侧在 B、D 型李代数上的证明．